John Forbes Nash – Mahkumlar Açmazı
Bu sayıda, Deli bir bilim adamı bulmanın, benim için gerekten zor olduğunu söylemeliyim. Deliliği bir bilim adamına yakıştırmak veya bir bilim adamını “deli” olarak anmanın sakıncalı ve yersiz olduğu kanısındayım. Bu yüzden, herkes tarafından şizofren olduğu bilinen bir bilim adamının, John Forbes Nash’in Mahkûmlar Açmazı’ndan oluşan bir derleme hazırladım sizler için. Deli’sine iyi okumalar…
Oyun Teorisi Nasıl Doğdu?
İnsan davranışlarının oyunlar yoluyla açıklanabileceği fikrini ilk düşünen Macaristan doğumlu büyük matematikçi John Von Neumann oldu. Onun 1928’te yazdığı bir makale yolu açtı.
Sonra 1944’te Oskar Morgenstern ile John Von Neumann’ın birlikte yazdıkları ‘Oyunlar Teorisi ve Ekonomik Davranış’ kitabı çıktı. Kitapla birlikte konu çok kısa zamanda üniversitelere ders olarak da girdi. Artık özellikle matematik bölümlerinde ‘Oyunlar Teorisi’ dersleri açılmıştı.
Ancak Von Neumann ile Morgenstern’in kitabının üçte biri toplamı sıfır olan iki kişilik oyunlarla ilgiliydi. İkiden fazla oyuncusu olan oyunlarla ilgili bölüm yine kitapta geniş yer tutuyordu ama tamamlanmamıştı ve bu çeşit oyunlar için bir çözüm olduğu kanıtlanmamıştı. Kitabın son 80 sayfası ise toplamı sıfır olmayan oyunlara ayrılmıştı ve Von Neumann bu çeşit oyunları da aslında bir anlamda toplamı sıfır oyunlara çevirmeyi deniyordu.
Toplamı “Sıfır” Olan Oyunlar Ne Demek?
Oyuna katılanlardan bir tarafın kaybı, öteki tarafın kazancına eşit. Bunun en basit örneği futbol. Sizin takım 1–0 galipse, öteki takım da 1–0 mağlup demektir. Lig puan cetveli tablosunda atılan ve yenen golleri toplarsanız birbirine eşit çıkarlar. Bu çeşit oyunlar mutlak bir zafer ya da mutlak bir yenilgi yarattığı için ‘oyun’ kavramının özünü oluştururlar belki ama gündelik hayatta, özellikle de insan ilişkilerinde ve ekonomide bu oyunlara pek az rastlanır. (İsmet Berkan’ın Radikal Gazetesi, 29.07.2001 tarihli yazısı)
Genel olarak oyunları toplamı sıfır olan oyunlar ve toplamı sıfır olmayan oyunlar diye ikiye ayırmak mümkün. Örneğin futbol, toplamı sıfır olan bir oyun. Bir takım diğerini 1-0 yendiğinde, diğer takım da 0-1 yenilmiş oluyor. Yenilgi ile yenginin toplamı sıfır. Benzer biçimde poker de toplamı sıfır olan bir oyun. Oyuna giren para miktarının toplamı, kazanan ve kaybeden oyuncuların önündeki para miktarının toplamına eşit, yani sonuç sıfır. Von Neumann’ın 1928’deki makalesi ve daha sonra Norveçli iktisatçı Morgensten’le birlikte 1943’te yayımladıkları kitap, toplamı sıfır olan oyunlar meselesini büyük ölçüde çözüyor ama toplamı sıfır olmayan oyunları çözmüyordu. Bugün bildiğimiz anlamıyla oyun teorisi, aslında iki teoreme dayanır. Bunlar, Von Neumann’ın 1928 tarihli minimum-maksimum teoremi ile Nash’e Nobel kazandıran 1950 tarihli denge teoremi. Nash, oyuncuların kendi aralarında işbirliği yaptıkları ve yapmadıkları oyunlar arasına ciddi bir mesafe koyar. Von Neumann’ın teoreminin gerçek hayatla pek bir ilgisi yoktur. Oysa Nash’in teoremi, tamamen gerçek hayatı izaha yöneliktir. Bu sayede Nash’in teoremi siyasetten ekonomiye, biyolojiden başka alanlara kadar pek çok yerde uygulamaya girdi. (İsmet Berkan’ın Radikal Gazetesi, 09.03.2002 tarihli yazısı)
Tutuklunun Açmazı (Mahkûm Teoremi) (İsmet Berkan’ın Radikal Gazetesi, 05.08.2001 tarihli yazısı)
Oyunlar Teorisi, esas olarak iki teorem üstüne kurulu. Bunlardan birincisini, yani min-max teoremi adıyla bilinen teoremi, geçen yüzyılın bir başka önemli matematikçisi John Von Neuman geliştirdi.
İkincisi ve çok daha önemlisini ise Nash geliştirdi. Buna da ‘Nash Dengesi’ deniyor.
Nash dengesiyle ilgili teorem hemen dönemin en iyi beyinleri tarafından test edildi. Bu testlerden biri için geliştirilen ‘oyun’lardan birinin adı ‘Tutuklunun Açmazı’ydı. Bu oyunu, Nash’in doktora hocası Al Tucker icat etmişti.
Oyun şöyleydi: Aynı suçtan ötürü iki kişi tutuklanır ve ayrı ayrı odalarda sorgulanır. Her tutukluya
üç seçenek verilir:
- İtiraf etmek
- Ötekini suçlamak
- Sessiz kalmak
Tutuklu açısından en iyi seçenek itiraf etmektir. Eğer öteki tutuklu da itiraf ederse, en azından çok ağır bir ceza almaktan kurtulacaktır, yok öteki sessiz kalırsa yegâne tanık olarak cezadan da kurtulabilecektir. Yani, itiraf ‘baskın strateji’dir. Ama işe bakın ki, eğer birlikte olsalar, ya da işbirliği yapabilseler, her iki tutuklu da kendi iyilikleri için sessiz kalacaktı.
Yani, işbirliksiz (non-cooperative) oyundaki baskın (dominant) strateji ile işbirlikli oyundaki baskın strateji birbirinden epey farklıydı. ‘Tutuklunun açmazı’ oyunu, Nash’in denge kavramıyla çelişiyordu. Çünkü Nash, her oyuncunun kendi en iyi stratejisini izleyeceğini, çünkü öteki oyuncuların da öyle yapacağını varsayar. Oysa oyun bunun illa ki böyle olmayacağını gösteriyordu.
Sovyetler Birliği ile Amerika arasında o zamanlar en hızlı zamanlarını yaşayan silahlanma yarışı, ‘Tutuklunun açmazı’na gösterilebilecek en iyi örnek aslında. İki ulus da, eğer işbirliği yapsalar ve yarışı bıraksalar kendileri için çok daha iyi olacaktı. Ama her ikisi için de baskın strateji sonuna kadar silahlanmaktı.
Evet, Oyunlar Teorisi, sadece ekonomide değil, pek çok alanda kullanılacaktı.
İkinci Dünya Savaşı, tarihte bilim adamlarının en çok doğrudan katkıda bulunduğu savaştı. Sadece matematikçilerin ve fizikçilerin değil bütün bilim dallarının katkısı gerekti savaşı kazanmaya. Bilim savaşın sonucunu değiştirdiği gibi savaş da bilimin kaderini ve ilerlemesini değiştirip yönlendirdi. O yılların mantığını da iyi anlamak gerekir. Matematik her şeydir, her sorunun cevabıdır o yılların inancında. Yeterince iyi hesaplarsanız, her şeyi matematiksel olarak izah edebilirsiniz yani. Oyunlar Teorisi’nin Nash tarafından 1950’lerin başlarında tamamlanmasıyla birlikte bu son inanç iyice yerleşti.
Oyunlar Teorisi, askeri konulardan sosyal bilimlere, ekonomiden biyolojiye kadar pek çok alanda uygulandı. Nash, teorisinin bir bölümünü yaz aylarında çalıştığı RAND şirketinde tamamladı. RAND, Amerikan ordusunun bilimsel araştırma ihtiyacını karşılamak üzere silah üreticileri tarafından kurdurulmuş bir bilim şirketiydi. O yılların atmosferi, RAND’in hâlâ kendini koruyan gücü ve ilişkileri, Nash’in ve diğer matematikçilerin katkıları sadece bilim dünyasını değil edebiyat ve sinemayı da etkiledi.
Nash Dengesi
Poker tarzı oyunlardaki kısır bir döngü gibi uzayıp giden fikir yürütme biçimini Nash bir döngü olmaktan çıkartıp bir kare gibi düşünmeyi önerdi. Nash’ın önerisi tam olarak şuydu: Bütün oyuncuların kendine göre en yüksek kazancı getirecek bir stratejisi var ama bu ‘dominant strateji’ oyundaki yegane oyuncu o olmadığı için uygulanamaz, o yüzden de bir ‘denge’ durumuna razı olunur. Şimdi okuyunca çok basit gözüktüğüne eminim ama bu, gerçekten büyük bir fikri sıçramayı ifade ediyordu ve bu sıçramayı bulan insan da bir ‘dâhi’ydi. (İsmet Berkan’ın Radikal Gazetesi, 29.07.2001 tarihli yazısı)
Nash dengesi stratejisi bir oyuncunun karşısındaki oyuncunun oynayacağını düşündüğü stratejiye karşı kendisi açısından en iyi strateji. Nash dengesi stratejisi seçildiğinde de kimse o dengeden başka bir yere gitmek istemiyor. İşte Nash ağır matematik kullanarak, böyle bir dengenin çoğu şartlarda mevcut olduğunu ispat ederek, von Neumann’ın yaklaşımını genelleştirmiş, çözüm üretmiş ve denge kavramını yerleştirmişti. Böylece de oyun teorisinin bir sürü alanda kullanımının yolunu açmış ve Nobel’i hak etmişti. Bugün Nash dengesi ekonomi dışında biyoloji ve siyaset bilimi gibi son derece farklı alanlarda kullanılabilen önemli bir kavram. (Gökçe, Akşam Gazetesi 28.03.2002 tarhi yazısı)
Bir örnek (Asaf Savaş Akat, Sabah Gazetesi, 28.03.2002 tarihli yazısı)
Nash dengesinin sade mantığını bilinen bir örnek üstünde izleyelim. OPEC bir petrol fiyatı tesbit etmiş. O fiyatı tutturmak için gerekli üretim kotalarını da ülkelere dağıtmış. Arz, talep ve fiyat birbiri ile tutarlı varsayalım.
Şimdi petrol ihracatçısı ülkelerden birinin üretimini kota üstüne çıkartmaya karar verdiğini düşünelim. Diğerleri kotaya sadık kalsın. Ne olur? Arz artacağından petrol fiyatı düşer.
Üretimini arttıran ülkenin petrol geliri yeni fiyatla düşüyorsa, piyasa Nash dengesindedir. Çünkü bu durumda dengeyi bozma üreticilerin işine gelmemektedir. Üretim maliyeti fiyatın üstünde olmasına rağmen piyasada dengeyi bozucu davranış olmamaktadır.
Eğer üretimini artıran ülke yeni fiyattan daha fazla petrol geliri elde ediyorsa piyasa Nash dengesinde değildir. Çünkü dengeden sapmadan kârlı çıkan üretici vardır. O fiyat ve üretim kotaları tutunamaz.
Kavramın uygulamada bir işe yarayıp yaramadığı tartışmalıdır. Ama iktisat teorisini eksik rekabetle ilgili mahcubiyetten kurtardığı kesindir. Ekonominin işine yaramasa da iktisatçılara ilaç gibi gelmiştir.
Alıntıdır: http://www.oyunteorisi.com/category.php?cID=4
Derleme: Julia Mandelbrot julia_mandelbrot [at] hotmail.com
Bir Cevap Yazın